Science4All - 2016-12-30
La théorie ZFC est le socle des mathématiques standards. Dans cette vidéo, je vous montre comment les nombres s'inscrivent dans cette théorie (en fait les constructions présentées ici ne reposent que sur la théorie Z de Zermelo). L'infini et les fondations mathématiques | Science4All https://www.youtube.com/playlist?list=PLtzmb84AoqRRgqV5DfE_ykuGQK-vCJ_0t 1+1=2 (en arithmétique de Peano) | Infini 13 https://www.youtube.com/watch?v=oKprCgIKWxo La diagonale dévastatrice de Cantor | Infini 16 https://www.youtube.com/watch?v=xqSKawORrPo Les théorèmes d'incomplétude de Gödel | Infini 18 https://www.youtube.com/watch?v=2CqApwhwcTc Les "mathématiques modernes" de Bourbaki | Infini 19 https://www.youtube.com/watch?v=7fbn99V1f9U
petit éclatage de cerveau en règle avant le réveillon, merci :)
Dans un livre de Terminale C et E de 1976, on définissait déjà Z comme ensemble quotient : IN^2/R
Ax Mothe bah ça a baissé le niveau
Un jour je vais faire un AVC en regardant une tes vidéos tellement c'est mindfuck et tu culpabiliseras :)
+Balade Mentale pour l'instant je vise le placement de produit de doliprane... mais pourquoi pas conquerir le marche des défibrillateurs :p
J'avoue! C'est hardcore ahah
Autre question : pourquoi tu parles de ZFC et pas de ZF tout court, vu que tu ne parles pas de l'axiome du choix, dans cette vidéo ?
Bonne question.... J'ai changé le titre de la vidéo, du coup ;)
@Science4All (français)
:-)
l'axiome de l'union, c'est pas plutôt "Pour tout X, il existe U, pour tout z (z appartient à U <=> (il existe Y (Y appartient à X et z appartient à Y))" ?
Si, et il l'a dit.
MrAmericanDreams relis mieux, il y a une faute dans la vidéo (z appartient à Y, pas à X)
Je n'avais pas vu qu'il l'avait écrit, juste qu'il l'avait DIT. Oui, bien sûr que c'est faux, sinon U = X.
Merci pour la coquille :)
J'ai rajouté un commentaire étiqueté à ce sujet.
Pour être hardcore, ça l'est. J'ai beau avoir un bac S, je ne comprends pas grand chose. On nous apprend quoi au lycée en fait ?
Et pourtant, je regarde et écoute le plus attentivement possible, ça reste un plaisir de découvrir ce monde si abstrait, limite poétique, alors que je ne suis pas familier avec toutes ces notions.
De la logique mathématique pure, cela manque vraiment à notre système éducatif, plutôt que de bourrer le crâne des gosses en les forçant à apprendre bêtement les tables de multiplication par cœur alors que 4 touches sur une calculatrice suffisent à avoir le résultat.
Le lycée ne sert absolument à rien, j'ai compris presque tout jusqu'au 3 quarts de la vidéo alors que je viens de rentrer en 2nd
Au lycée, on apprend juste ce que les anglophones appellent Calculus, c'est-à-dire les règles calculatoires pour les limites, dérivées et intégrales (on trouve parfois le terme « calcul infinitésimal »). L'aspect ontologique (ce que sont les réels, pourquoi les opérations sont bien définies etc.) est l'analyse réelle pure et ça n'est fait correctement qu'en licence ou en prépa.
C'est clair qu'en évinçant l'algèbre générale et linéaire, la théorie des ensembles et les équations différentielles, le lycée sert plus à grand chose (Sans les équa-diffs, on est obligés d'attrophier à mort le programme de physique à côté et de combler les trous par de la chimie tellement inutile pour un scientifique généraliste qu'on n'en fait même pas en math spé...).
La notion de logique mathématique pure n'est pas très sexy pour les jeunes, c'est tout. Je pense que le lycée cherche plus à "former" l'étudiant à pouvoir tout faire, faire une formation généraliste. Tu peux très bien faire avocat ou chimiste après un bac s.
Après Craki, la chimie inutile pour un scientifique généraliste, ça dépend de ce que tu entend par généraliste... :( Mais de toute façon vu le niveau ridicule de chimie qu'on voit au lycée, autant ne pas perdre son temps et faire directement de la physique ou des maths plus poussées, j'suis d'accord.
@ReeeEEE !!! il explique bien parce que même au lycée on vois pas ça donc c'est normal qu'on arrive à comprendre un minimum, et donc c'est pas parce que tu comprends que le lycée ne sert à rien
@Aym97 Nguyen Ne sert à rien à la compréhension de la vidéo je voulais dire. Même si d'une manière générale le lycée est quand même très loin d'être optimal
21:30 ne devrait on pas ajouter une troisième condition qui dit que si (m, n, p) € Add, alors (n, m, p) €Add et de même pour Mult ? (J'utilise le symbolede l'euro pour appartient à)
Commentaire pour aider au référencement ! Youpii Mot clefs: Maths Mathématiques Physique ZFC
Je partage un lien sur le sujet : http://spoirier.lautre.net/leroy/
manque une parenthèse fermante dans ton axiome de compréhension.
je vous remerciie beucoup pour l'effort que vous faites pour les diiférentes videos ..j'étais en classe prépa MP mais j'ai vraiment appris beaucoup de choses à propos des mathématiques en regardant tes videos surtout l'histoire des maths et l'enchainement historique pour arriver au maths moderne chui un fan marocain merciiiiiiiiiiiii et continue votre travail bonne année aussi :)
5:10 Ne peut on pas dire qu'il y a plusieurs ensembles vides mais qu'ils sont tous egaux ?
Ca revient à dire qu'il y a plusieurs toi mais que vous vivez tous la meme chose au meme moment constitués des memes particules au meme endroit. En gros tu es unique
Ok ;")
fait en prépa en hors programme lol...
SUPER BOULOT !!! :)
je trouve ça génial ! tout ce que tu fais dans cette vidéo est magnifique ! C'est vraiment des maths que je trouve intéressants :)
D'ailleurs avec ma prof d'algèbre on a vu une construction de C utilisant des Matrices, et toi même tu nous présente plusieurs constructions de C et de R. Existe-il aussi d'autre constructions pour N,Z et Q ?
Salut, excellente vidéo comme d'habitude :)
Dans la version plus compliqué de l'axiome de l'union, j'ai l'impression que à la fin ça devrait être "z appartient à Y" et pas "z appartient à X" ?
Est-ce que on pourrait définir N en le notant comme la restriction de I avec la propriété "pour tout x dans N, x est l'ensemble vide ou il existe y tel que x = Sy" et "pour tout sous-ensemble X de N, il existe y appartenant à X tel que pour tout x, Sx différent de y". Avec ça on s'assure de retirer les branches qui commence par autre chose que l'ensemble vide et dans le même temps on retire les branches infinis dans le sens des antécédents et qui bouclent sur elle-même. Après j'ai peut être oublié certains cas de "branches".
super
Je pense qu'il y a une petite faute dans la première formulation de l'axiome de l'union (l'originale). C'est bin $z \in Y$.
C'est normal que si je suis en 1er S je comprends la moitié de ce que tu dit ?
En tout cas des très bonnes vidéos
bravo
Il faut je pense au minimum bac+2 voire bac+3 pour vraiment bien saisir tout ce qu'il dit, donc oui c'est normal
15min aussi
En fait c'est de la programmation orientée objet 🤔
Oui j'y ai pensé
Bonjour, j'ai plusieurs questions suite au visionnage de ta vidéo.
1) Qu'est-ce qu'un ensemble, si ZFC ne le définit pas ?
2) Comment sont définis "pour tout" et "il existe" ? Je comprends que ce sont des symboles qu'on s'autorise à utiliser selon des axiomes de logique, mais bien souvent quand on prouve quelque chose avec le "pour tout", on fait appel à notre intuition "et voilà, tous les objets vérifient ça, donc on a le pour tout". Je trouve ça peu rigoureux, et pourtant on l'utilise quotidiennement en mathématiques, c'est dommage.
3) Comme sont définis = et € ? Pourquoi ne pas définir = avec l'axiome extensionnalité au lieu de devoir le prendre en plus, et pourquoi une simple implication et non une équivalence ?
4) Comment définit-on une formule P(x) sans la notion de fonction / d'application ? En soit, quels sont ces objets que l'on peut invoquer avec des pour tous et des il existe, sans les avoir définis ?
5) Pourquoi définir les fonctions comme juste leur graphe, et non pas en prenant en plus l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée ? Sinon, comment distinguer une fonction qui part de R par exemple d'une fonction qui part de N, par rapport à la surjectivité par exemple.
Merci :)
JB EDE: justement, c'est parce qu'il faut ces trois choses que j'explique que juste donner la relation/le graphe ne suffit pas.
Justement, j'ai donné un exemple pour montrer qu'en changeant d'ensemble d'arrivée, on changeait de fonction, et qu'à ce titre, ne donner que le graphe ne suffit pas.
TheMaxtimax: merci, c'est exactement ce genre de réponse que j'attendais. Je vais essayer de me pencher sur tes réponses à propos des quanticateurs et du = :) Merci encore !
perimgui La reponse de TheMaxtimax est très complète, mais pour t'aider si tu comprends moyen :
En fait un quantificateur ce n'est qu'une syntaxe, de la même façon qu'un nombre dans ZFC n'est qu'un ensemble (enfin un élément de la théorie quoi..). Cette syntaxe obéit à des règles qui nous laisse penser qu'un symbole veut dire "quelque soit" ou "il existe" mais c'est de la surinterprèterion de dire ça ! Et c'est ainsi pour tous les symbols ! Ils obéissent simplement à des règles syntaxiques qui laisse à penser que ce sont les traductions de l'idée abstraite qu'on s'en fait.
+perimgui On suppose qu'il existe des objets non mathématiques. C'est la base de tout. On en choisit un (arbitrairement) et on l'appelle "symbole pour tout" que l'on note ∀. C'est ce qu'on fait lorsque l'on veut avoir un langage (au sens de la Théorie des modèles), aussi appelé signature, pour élaborer des formules, et par conséquent des théories écrites dans ce langage. Savoir quel est cet objet importe peu. Ce qui compte c'est que le travail soit cohérent : que ce soit cet et cet objet seul qui joue le rôle du "symbole pour tout", et qu'en l'interprétant il signifie ce qu'on entend habituellement.
+perimgui Par ailleurs, c'est de cette façon que l'on "définit" le symbole =. Au sens du langage, il s'agit simplement d'un symbole binaire. Par contre, si tu veux travailler à faire des preuves dans ce langage (enchaînements d'énoncés écrits dans le langage suivant certaines règles logiques), il faut exploiter la toute-puissance des propriétés de l'égalité (que l'on pense intuitivement), et c'est pourquoi on ajoute habituellement les règles d'égalité (du moins si tu souhaites que ton langage possède un tel symbole) dans les règles logiques. Plus tard, lorsque le symbole = est interprété, on lira "x = y" comme le fait que l'objet x est le même que l'objet y, c'est-à-dire (x, y) appartient à R, où R est la diagonale de M, où M est le domaine d'un modèle.
à quand un nouvel hardcore ? j'imagine qu'il y a des mathématiques un peu plus velues dans le domaine de l'IA qui pourraient faire une bonne vidéo ? Ca me manque ! Merci lê pour cette chaine !
Ohay bah j'ai été perdu à la 7ème minute XD bon j'ai continué, j'ai encore été perdu sur l'ensemble Add et un truc encore avant ... mais je crois qu'il es un peu tard pour ce niveau, je reviens demain :)
Très intéressant. Il me semble, que, par moments, vous pourriez présenter les choses de façon un tout petit peu plus simple, en vous appuyant sur des définitions plutôt qu'en revenant tout le temps aux axiomes.
je serais curieux de voir la construction des quaternions dans ZFC ^^
romain thibaud pourquoi pas les octonions...?
Construction la plus rapide des complexes : on assimile C au plan vectoriel réel formé par la matrice d'identité de côté 2 notée X et la matrice de rotation d'angle π/2 notée Y. Ainsi, tout nombre complexe est représenté comme une matrice carrée à coefficients réels pouvant s'écrire sous la forme x X + y Y avec x et y réels. L'addition, la multiplication et i² = −1 sont alors toutes triviales.
Pour les quaternions, tu fais pareil avec les trois matrices de rotation de côté 3 et d'angle π/2.
c'est incroyable se le travaille que tu fais mais la tu ma perdu même si normalement j'y arrive en math
Bonjour,
très intéressante vidéo! Il y'a un point qui me trouble un peu, c'est lorsque tu parles de l'objet Add, tu démontres que pourtout(x)pourtout(y) il existe(z) tq (x,y,z)appartient à Add, mais tu ne parles pas du tout de l'unicité de z (vu comment add est défini elle ne me semble pas complètement évidente), pourtant elle est nécessaire pour démontrer la transitivité de R non?
Très bonne question ! J'ai rajouté un commentaire épinglé qui répond à ta question ;)
Excellente vidéo encore une fois. Je pense avoir tout compris jusqu'aux ensembles quotients. Un peu de recherches et ce sera plus clair dans ma tête.
Super !
Super video comme d'hab ;)
Pour une fois j'ai tout compris dans ton épisode hardcore (sauf la fin sur C mais bon osef) par contre qu'est-ce que ça veut dire le symbole tripe égal exactement ? j'ai bien une petite idée mais je suis pas trop sur ...
Ah ok ça correspond juste à l'équivalence logique merci ^^
Oui voilà, je n'étais pas sûr que tu connaisses, mais c'est exactement ça haha.
Mais alors du coup pourquoi est-ce qu'on n'utilise pas ce symbole <=> qui veut dire pareil ?
C'est en gros pareil. Simplement <-> est un connecteur logique donc à la base va noter l'équivalence de prédicats alors que ≡ est utilisé pour dire que deux assertions donc "phrases" sont équivalentes. En gros, quand il y a un ≡ c'est pour clairement signifier qu'il y a deux formules, à gauche et à droite de l'équivalence, alors que quand on croise un <-> c'est dans une seule est même formule.
OK merci ^^
12min erreur de parenthèse
Bonjour, quand ferez-vous une vidéo sur les lagrangiens en mécanique "classique"?
Il y a une petite coquille dans la démonstration de l'unicité de l'ensemble vide, aux deuxième et troisième ligne c'est ∀z plutôt que ∀z∈Y.
Si je comprends bien, d'après la construction
le 1 de l'ensemble N est différent du 1 de l'ensemble Z
n'est ce pas ?
d'accord, du coups ça ne pose pas de problème dans la suite ? parce que rien que dire N inclus dans Z est faux , non ?
Il suffit alors de poser que l'ancien N est désuet, et de définir un nouveau N, comme étant l'ensemble des éléments de Z qui sont supérieurs ou égaux à 0.
Parfait tout est clair !!
Merci pour tes vidéos ! ça me fait vraiment plaisir de voir des maths hardcore (ça c'est du hardcore, je te l'accorde U_U ) sur Youtube: des voir des gens qui l'expliquent aussi habilement que toi, et de voir des gens qui s'y intéressent.
J'ai fait prépa puis école d'ingénieur et je serais bientôt diplômé... je me suis un peu éloigné de tout ça. Tes vidéos me redonne encore une fois ce plaisir de faire des vrais Maths , Merci ! :D
Merci aussi pour l'attention et le temps que tu accordes à ta communauté !
perimgui oui mais est ce que tous les théorèmes démontrés sur les entiers de N ont un théorème équivalent qui demontre la même proposition sur les entiers de Z ou R? ca serait dommage de tout redemontrer à chaque fois que l on étend l ensemble des nombres.
Il y a un isomorphisme entre N et Z+ ( sans entrer dans le détail : de monoïdes ordonnés ... ) . Ca suffit pour savoir que tout ce qui est valable pour un est valable pour l'autre, je pense.
Feras-tu une vidéo sur la preuve ontologique de l'existence de Dieu par Gödel ? et sur la théorie des catégories ? (si tu as le temps évidemment)
A priori non :(
Ptdr j'comprend rien
Alors pour commencer, merci pour la vidéo.
J'ai toutefois une question : Tu dis vers 12:20 que ZFC est une logique du premier ordre, donc on peut appliquer le théoreme de Completude de Godel, du coup, est-ce que cela veut dire ZFC est complet (tous les énoncés vrais sont prouvables si j'ai bien compris). Mais, si j'ai bien compris, ZFC contient l'arithmétique, du coup, d'après une vidéo précédente, ZFC ne peut pas être complet (théorème d"incompletude de Godel).
Du coup, ZFC est complet ou pas? Etqu'est-ce que j'ai mal compris?
Lionel GUEZ la théorie est complète, au sens que si quelque chose est vrai dans tous ses modèles, alors il est démontrable.
Elle est incomplète au sens où certaines propositions ne peuvent pas être démontré comme vrai ou fausse, car il existe des modèles ou elles sont vraies et des modèles ou elles sont fausses.
Merci pour la réponse.
Mais du coup, cela veut dire que vu que le théorème de Goodstein (cf une précédente vidéo) ne peut pas être démontré via les axiomes de l'arithmetique de Peano (on doit passer par les ordinaux), il existe un modèle dans lequel le théoreme de Goodstein est faux ??
Si c'est le cas, cela me parait étrange, le théorème ne peut pas à la fois etre vrai et faux. Ou alors, j'ai mal compris une chose.... (c'est certainement ça)
Le théorème de Goodstein ne peut pas être démontré à partir des axiomes de Peano, ainsi que sa négation (très important). Ce théorème est donc indécidable dans le cadre de cette théorie. Ajouter ce théorème à la théorie ou ajouter la négation de ce théorème à la théorie, ne modifiera pas la valeur de cohérence de la théorie. Par le théorème de complétude de Gödel, il existe un modèle de la théorie dans lequel le théorème est faux.
a ok...
Donc le théorème de Goodstein peut être faux dans un modèle, ca me parait tordu (comment une suite peut ne pas tendre vers 0 dans un modèle..)
Je tâcherai de me renseigner sur le net.
Merci en tout cas!!!!
La preuve du théorème de complétude de Gödel peut être établie en construisant justement un tel modèle, en suivant la méthode de Henkin.
ça fait tellement langage formel.
Quelles sont les problèmes d'une logique où l'ordre est supérieur à 1? ça m'a l'air manipulable.
Merci, encore une fois je me suis régalé, d'autant plus que j'ai enfin compris (grâce à l'épisode 19/ZFC), pourquoi je ne comprenais rien aux maths de mes enfants... pas d'ensemble, pas de relation,... je me demande comment ils font. Moi j'ai eu les "maths modernes" depuis le CE1, j'en suis sorti vivant et même assez content, et surtout cette vidéo Zermelo me replonge dans ma jeunesse 😀😀😀merci !
Vivement 2017 !!
Haha!! Merci pour ce message !
Salut Lê et merci pour tes vidéos ! Petite question : Quand tu introduis N, tu fais finalement appel à la classe des ensembles inductifs contenant zéro (vers 14:30). A-t-on le droit de faire ça ? Tout dépend finalement de ce qu'on appelle "formuler une proposition dans le langage de ZFC", ce qui reste encore assez obscur pour moi ! Merci d'éclairer ma lanterne ! (Au passage, on peut définir N comme l'intersection des parties de I inductives et contenant zéro, qui est bien un ensemble pour le coup, pour contourner le souci, non ?)
Sûrement ultra brillant, mais ça va trop loin. Si je ne comprends pas l'axiome de compréhension, dois-je me jeter aux Goudes ?
actuellement en bac+2 en math (en fesant partie des meilleurs), et j'ai du mal.
*faisant partie (je te corrige dans l'idée de te rendre meilleur encore ;))
L'axiome de compréhension te permet de considérer l'ensemble des "solutions" d'une "équation"; sauf qu'ici l'équation c'est une propriété. Tu considères donc l'ensemble des éléments vérifiant une propriété. Par exemple, l'ensemble des x tel que x > 2.
Ce genre de vidéo est géniale, merci pour ton effort, vraiment ça fait plaisir de voir ce genre de vulgarisation !
Aurais-tu moyen un jour de parler des arbres de preuves en logique ? En gros montrer ce qu'est une démonstration en mathématique. En essayant d'expliquer les différents axiomes logiques ? En insistant lourdement sur l'axiome du raisonnement par l'absurde si possible :)
Ou alors faire un episode hardcore sur la récurrence structurelle pour expliquer comment prouver qu'un arbre ou une liste en informatique possède bien une certaine propriétée ?
On va parler du raisonnement par l'absurde. Mais pas en mode Hardcore :(
La prochaine série pourrait être sur l'informatique... Ça ne dépendra pas de moi, mais de vous ^^
J'allais parler de la nature logique du symbole d'égalité, implicitement supposé satisfaire les axiomes de l'égalité pour effectivement se comporter comme la vraie égalité intuitive, mais je vois que TheMaxtimax l'a déjà mentionné. A part ça, la vidéo illustre le caractère un peu pénible de l'approche, qui fait appel sans le dire à des concepts d'algèbre générale comme celui de sous-algèbre minimale, qu'on s'embête à redémontrer au passage dans des cas particuliers. Je trouve plus élégant de commencer par démontrer de tels résultats dans le cas général pour ensuite en déduire les constructions des entiers et les définitions récursives comme cas particuliers. En effet cela fournit ainsi directement des bagages puissants utiles pour continuer l'apprentissage de l'algèbre au lieu de devoir ensuite les reprendre à zéro. Je développe mon approche partant d'une variante de la théorie des ensembles qui admet au départ les concepts de fonctions et de couples pour ne pas avoir à en présenter une construction à partir d'ensembles en fait complètement inutile. De plus je regroupe certains axiomes comme conséquence d'un principe unique dont je démontre ensuite la validité philosophique basée sur un concept intuitif précis d'ensemble au-delà d'une axiomatique particulière. De là, les différentes utilisations de l'axiome des parties dans les constructions suivant l'approche ZF n'apparaissent plus comme "équivalentes" puisque certaines apparaissent comme "mieux justifiées" à savoir ayant une "signification objective" indépendante de l'univers, contrairement à ce qui dépend fondamentalement de l'axiome des parties au sens d'être en fait relatif et sujet au paradoxe de Skolem.
Donc, le début en français sur settheory.net/fr/ et la suite (algèbre générale et construction de l'ensemble des entiers) seulement en anglais pour le moment (désolé).
Où est le "blocage" qui fait que Sn n'est pas définit plus simplement par Sn = {n} ?
Aucun blocage ! Ça marcherait très bien aussi.
(Certains préfèrent ce que j'ai présenté car "n<m" s'écrit alors "n∈m" mais c'est purement cosmétique)
Question : À 4:25 c'est pas plutôt ..... <=> X = Y ?
oui sans doute
c'est d’ailleurs amusant j'aurai appelé ça une définition et pas un axiome puisque "=" n'est pas défini avant
Je pense que tu réponds à la question que je m'étais posé à propos du rôle qu'a joué la diagonale Cantor pour la thérorie des ensembles et la thérorie d'incohérence.
Lucas Willems - 2016-12-30
Incroyable travail ! Des vidéos très travaillées pédagogiquement, de très bonnes qualités, qui font découvrir des domaines nouveaux, sans trop rentrer dans le formalisme. Vraiment, toutes mes félicitations pour ce travail accompli !
R B - 2016-12-30
Lucas Willems salut Lucas , les prepas mp attendent avec impatience une vidéo sur Ulm.. 😉 Bon courage !
Lucas Willems - 2016-12-31
Salut R B ! Elle va arriver tkt pas !
RedRikudo - 2018-02-02
What j'ai lu un de tes articles pour resoudre du 3eme degres et je te retrouves ici xD