Science4All - 2017-01-30
La réponse à cette question a conduit à deux mathématiques distinctes. D'un côté, on les mathématiques classiques plutôt platoniciennes. Et de l'autre, on a les mathématiques intuitionnistes ou constructivistes. #DébattonsMieux L'infini et les fondations mathématiques | Playlist Science4All https://www.youtube.com/playlist?list=PLtzmb84AoqRRgqV5DfE_ykuGQK-vCJ_0t
Je ne comprends pas comment les intuitionnistes ont obtenu ce nom. C'est quand même l'opposé de l'intuition...
Ils se basent sur l'intuition: intuitivement, il n'y a pas de raison que si un théorème n'est pas faux, alors il est vrai.
Ben, si, justement! XD C'est clairement intuitif que si c'est pas faux c'est vrai et vice-versa!Là où l'intuitionnisme colle plus à l'intuition en revanche, c'est lorsque pour lui vrai=démontrable.
Je crois que ca peut venir de leur rejet de l'axiome du choix qui lui a des conséquences très contre intuitives.
Pardon @Florent Dravet j'avais mal lu, me corrige:
C'est possible, mais le rejet de l'Axiome du Choix également entraîne des résultats très contre-intuitifs...
C'est exactement ce que j'ai dit... d'où le nom de ceux qui le rejette les intuitionnistes.
Merci mec ! C'est passionnant !
moi je dis qu'on a découvert une invention ou inventé une découverte, merci c'est tout pour moi :D
Et donc on a inventé une découverte ou découvert une invention ?;)
C'est la question que je me suis toujours posée !! Merci d'avoir fait cette vidéo !!!!
Le paradoxe du gruyère :
Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous.
Plus il y a de trous, moins il y a de gruyère.
Donc, plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère.
16:09 Des noms !!! On veut savoir qui !
Wow. Une de mes vidéos préférées de ta série infini !Et au passage,TEAM PLATONICIEN !!!
Haha !
Lê, tes vidéos sont toujours un vrai bonheur, tant ton amour des maths est communicatif.
Je reconnais que ma prépa est très loin, et que parfois certains concepts donnent le tournis ou le vertige, mais c'est tellement jouissif avec toi !
Merci pour tes vidéos, celles qui vulgarisent et celles qui élèvent.
Tu es vraiment très bon et clair dans tes explications, vivement la Fields :)
Peut-être y aura-t-il un jour un Nobel ou un Fields de la vulgarisation...
Yep !
C'est souvent compliqué de faire simple, Etienne Klein est vraiment bon en vulgarisation, capable d'expliquer la physique sans schémas ni transparents pour mieux capter l'attention.
Ah super les isomorphes 😆😆😆
Hey, je pose une question,dans le théorème G, le resonnement par l'absurde n'est pas une preuve que celle ci n'a pas de preuve ?
pour ceux qui se demanderaient, la bonne solution à 4:10 est la deuxième : sqrt(2)^sqrt(2) est bien irrationnel (et même transcendant), d'après le théorème de Gelfond-Schneider.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Gelfond-Schneider
j'ai lut une question qui m'a fait réfléchir longuement , dans un livre que se nome "les univers parallèles " qui disait "les mathématiques sont-elles le langage dans lequel s'exprime la nature , ou simplement un outil extraordinaire et particulièrement efficace développé par le cerveau humain pour approcher la réalité naturel?"
Louis-Sébastien Gac-Artigas bas non justement 2+2=4 uniquement dans notre raisonnement
Non, quelque soit l'espèce vivante ou la machine qui cherchera à calculer 2+2, quelque soit le langage utilisé, la réponse sera toujours 4, et cela dans tous les univers possibles.
Je suis tout à fait d accord avec toi Louis , 2+2=4 est défini comme une vérité nécessaire, cad qu elle ne pourrait être autrement que ce que elle est , à l inverse d une vérité empirique , qui est , mais qui pourait aussi être autrement (genre une constante physique qui est tj mais qui pourrait sans soucis être plus grande ou plus petite )
Peu être pour plus de clarté : la question posé est elle : "l univers est il logique ?" Au quelle cas nous discuterons de savoir si l univers s appuis sur les mêmes grand principe que nos mathématiques , ou bien " l univers peu t il être décrit intégralement par les nombres ?" Au quelle cas nous pourrions parler du fait que la dé numération s appuis sur notre perception intuitive de l espace et des liens qui relis les objets dans l espace ?
Je dis juste que la question est un peu vague et qu'elle mériterait avant que l on la tranche (formulation caca^^) de la séquencer en dés question plus pointue concernant ce que l on appelle mathématiques , univers et logique !
Bien cordialement à tous !
Salut à toi, j'ai découvert ta chaîne il y à peu et voulais savoir si les maths matricielles était au rendez-vous? je suis vraiment pas foufou en maths ^^"
Un petit truc que j'ai du mal a comprendre :
G : "Le théorème G n'a pas de preuve"
Puis tu démontres G
C'est pas un peu paradoxal ?
Le fait que G n'ait pas de preuve, c'est au sein d'un système d'axiomes.
Le fait qu'on sache démontrer G, c'est au sein d'un autre système d'axiomes, qui englobe le premier.
+perimgui j'ai du mal à voir quel axiome il a rajouté, est-ce "le système d'axiome précédent est cohérent"?
Salut Lê, Merci pour cette nouvelle vidéo Très Bien faite :)
Comment classerais-tu du coup la démarche, qui consiste à partir du principe que c'est par INDUCTION que l'on découvre au fur et à mesure les Idéaux Fondamentaux ?
Aussi, il me semble que ces mêmes idéaux, lesquels sont alors exprimés par les Axiomes au fur et à mesure qu'on les découvre par Induction ou Intuition, ne sont pas nécessairement Immuables et Uniques et qu'ils peuvent être, dans une certaine mesure, ARBITRAIRES "à la COHÉRENCE Logique Près".
Ainsi, à tout système d'Axiomes que l'on sait COHÉRENT et que l'on dit "Vrai" parce qu'il semble décrire une Réalité Observable, si on ajoute un autre axiome que cela donne une nouvelle Théorie Formelle Cohérente, ça n'en fait pas nécessairement une Théorie "Vraie" mais une Théorie "MATHÉMATIQUEMENT VALIDE" qui ne correspondra peut-être jamais à une Réalité Observable autrement que de manière abstraite.
Dans cette vision, Les Mathématiques ne seraient-elles pas "L'ART FORMEL* DE LA DESCRIPTION DE TOUS LES UNIVERS** ABSTRAITS POSSIBLES" ? où La Réalité Physique correspondrait à'des CAS PARTICULIERS de tous ces "Univers (Cohérents) Possibles" ? (* LOGIQUE et AXIOMATIQUE) (** Ensemble d'Objets et de Relations Définis)
Enfin, si le "VRAI" est défini philosophiquement comme la CONFORMITÉ AUX FAITS, et si Les Idéaux sont des "Vérités Fondamentales", le Pragmatisme et l'Idéalisme ne s'opposent qu'en apparence puisque si l'on peut découvrir par Induction ces Idéaux et ensuite DÉDUIRE de ceux-ci de nouveau Théorèmes UTILES, il me semble que la Démarche n'est pas de se cantonner dans les Points De Vues Extrêmes mais qu'il faut s'appliquer à effectuer DES ALLERS-RETOURS CONTINUELS ENTRE CES DEUX PÔLES ET DONC USER DE L'INDUCTION AUSSI BIEN QUE DE LA DÉDUCTION.
Cela fait-il "sens" à quelques uns d'entre-vous ? ^_^
(sqrt(2)^sqrt(2))^(sqrt(2)) = 2 donc 2^(1/sqrt(2)) est irrationnel, donc on a seulement la deuxième proposition de vrai, non?
https://youtu.be/jZXWv0th4qA?t=4m7s
En plus, Tau est irrationnel, donc on peut déterminer qu'il y a au moins 2 chiffres qui se répètent infiniment
En binaire, le "et" est une multiplication et le "ou" une addition, pas l'inverse!!
Je suis ingénieur en informatique et Platonicien est-ce grave ? :D
En informatique on est (par defaut) ni dans IQ ni dans IR ni dans IN ni dans IZ :(
Soit dans un sous ensemble de IN ou IZ pour les entiers.
Soit un truc bizarre où plus on est loin de 0 moins on est précis pour les "nombres flottants" (à virgule):
https://fr.wikipedia.org/wiki/IEEE_754 (<= Cette norme peut faire faire des cauchemars à n'importe qui, qui fait du calcule numérique sur orginateur)
Genre 10 000 000 + 0.1 = 10 000 000 (http://weitz.de/ieee/)
Bien entendu la non finitude des entiers pose des problèmes physique. Cependant cette non finitude se code très bien avec un algorithme très simple, bien qu'il ne se termine pas.
Par ailleurs, on peut effectuer toutes les opérations de bases sur les nombres rationnels sans avoir à utiliser le type "flottant", et ainsi sans avoir à se retrouver avec des erreurs d'approximations.
Pour cela il nous suffit de définir le type rationnel comme une paire d'entier, premier entre eux (l'algorithme d'Euclide pouvant être vue comme une suite décroissante minorée, il converge toujours).
Le calcul de leurs division n'est pas nécessaire, leurs écritures décimal non plus. Cette écriture sous forme de couple contient déjà toute l'information nécessaire et suffisante à leur manipulations algébriques.
Pour les entiers il existe des stratégies de type "prend la quantité nécessaire pour représenter ton nombre", selon les opérations et le format cela grossie plus ou moins vite. Genre 2^65536 - 1 c'est facile à représenter sous cette forme (arbre ou autre) mais en binaire c'est un peu triste...
Pour les floattant, Je sais bien d'où le "Par defaut" :)
Je connais ce genre de stratégie néanmoins je n'ai jamais vu une implémentation de ces derniers en pratique (même dans Mathematica, Matlab... je parle d'utilisation dans un cas réel d’ingénierie par exemple).
Je les ai toujours vu comme des toys de numéricien non pratique. Si on fait un algorithme simple de type "Gradient Descente" en fraction et valeur exacte après seulement quelque itération c'est la fin du monde, ton/tes PC pleurs, tu as déjà rempli ta RAM ça n'avance plus, chaque pas prend des dizaines de seconde et là on abandonne cette idée et on pleure de tristesse :)
Il y a d'autre stratégie cool comme le fait d'utiliser au lieu des bases 2 des bases phi (nombre d'or) et là c'est badass parce qu'il n'y a pas de représentation unique pour un nombre en base phi (en effet phi^2 = phi + 1 ;) )
Certains logiciels de calculs formels/symboliques, souvent à visé pédagogique, par exemple sur les polynômes, sont bien une implémentation pratique de ce type d'approche.
Après je te rejoint totalement sur l'inefficacité latente de cette approche en calcul numérique. C'est pas pour rien que l'on accepte le calcul flottant malgré ces imperfections (bien que de gros progrès aient vues le jours (j'avais lu un papier qui disait en gros qu'il fallait plus trop se tracasser avec cela).
Pour l'écriture en base phi, j'apprend quelque chose, je ne savais pas que l'on s'autorisait à écrire des nombres en base irrationnel. En effet ça doit être sacrément badass.
Pour revenir à ta question initiale, bien que l'informatique soit un monde parfaitement discret. La densité de IQ dans IR nous assure que l'on pourra toujours trouver une approximation satisfaisante, à l'aide d'un rationnel, d'un calcul effectué dans l'idéalité platonicienne des nombres réels. Par exemple, il y a en recherche opérationnelle des problèmes qui sont de type NP uniquement parce que leurs inconnues sont des d'entiers. Si on reformule le problème en acceptant que les inconnues soient des réels alors on trouve un algorithme s’exécutant en temps polynomiale. Cette solution obtenue dans le corps des réels peut alors être utilisée pour fournir une solution au problème initiale. Cela aussi c'est badass.
Non Docteur !
Est-ce qu'on peut construire une courbe qui traverse une droite sans la couper ?
La demonstration de la non constructibilite de l'intersection est-elle intuitioniste ?
S'il te plaît, comment inventer une théorie mathématique ???
En regardant la nature ou,...
Ça s'est ressenti avant cette vidéo, a commencer par l'épisode 7...
Que signifie le symbole en forme de grand pi (à 5:52 par exemple)?
Normalement c'est un symbole de produit, mais la j'ai franchement l'impression qu'il manque des choses donc j'ai un doute.
Ça me passionne là
Très bon épisode ! Juste à 4 : 08 (à peu près) p et q étaient * (pas était) premiers entre eux
Une partie d'echec est une decouverte, mais le jeu d'echec est une invention. Pour les maths, c'est pareil : les regles sont inventees et les theoremes sont decouvert. :oP
Comment on sait que ln 2 est irrationnel ? Comment on sait que sqrt(2)^sqrt(2) est irrationnel ? Oo
Traverser une droite sans la couper c'est impossible je ne comprends pas sauf ci elle n'a aucun point à cette endroit alors la courbe n'est pas continue
Au vu de la conclusion de cette vidéo, le moins que l'on puisse dire c'est que les mathématiques intuitionnistes sont contre-intuitives !
Les intutioniste sont chiant bordel
la musique d'ambiance est super... tu pourrais me filer le titre si tu as le temps s'il te plait? :D
Toutes les musiques sont données à la toute fin de la vidéo ;)
j'avais pas vu, merci!
Merci pour tes vidéos, toujours intéressantes !
Deux points.
1) Supposons que la question « les avancées mathématiques procèdent-elles de la découverte ou de l’invention ? » est bien définie et qu’il existe une réponse à cette question. Je comprends qu’il y ait deux manières (il y en a bien plus, mais disons que ces deux façons constituent une base de l’espace des manières d’aborder les maths) d’aborder la mathématique. Cependant, je ne vois pas en quoi le point de vue d’individus permet d’apporter une réponse à la question ; car a priori la réalité se fiche royalement de ce qu’on pense d’elle.
2) Je pense que les termes de la question sont ambigus.
Lorsqu’on parle de « découverte » d’un théorème, on suppose que son existence précède la « découverte ». Il faut donc définir « l’existence » d’un concept mathématique de manière plus précise que de dire qu’il se trouve dans un monde platonicien (certains nieront tout simplement l’existence d’un tel monde dont la réalité ne prend sens qu’à partir du moment où on la pense, à la différence du monde réel qui se contrefout de ce qu’on pense de lui pour exister).
D’un autre côté peut-on réellement parler « d’invention » ? Car finalement inventer un théorème ce n’est que révéler ce qui existe déjà. Je m’explique. Inventer un théorème consiste (grosso-merdo) à définir des termes, à énoncer une proposition et à la démontrer. Tout ça peut se faire par écrit. Or tous les symboles et toutes les combinaisons réalisables avec eux existent déjà (et sont même au plus dénombrables). Donc « inventer » un théorème ce n’est que « découvrir » une de ces combinaisons potentielles…
Invention ou découverte ? Si on sort du domaine des mathématiques, on s’aperçoit que ces deux mots peuvent avoir le même sens : "Découvrir un trésor" = "Inventer un trésor" ! Isomorphisme ? :-)
7:37 Tu viens de PROUVER le théorème G disant ne pas avoir de preuve!!! Donc, G est faux! Mais on peut à nouveau démontrer par l'absurde que G est vrai, et ainsi de suite... Ce qui n'a aucun sens!!! La seule solution est de supposer le principe du tiers exclus FAUX, et donc de dire que G n'est pas vrai, mais pas faux non plus, qu'il soit ENTRE LES DEUX...
pour moi c'est de l'invention, c'est interprétation des hommes qui recherchent le progrès
Totalement team platonicien (bien que je comprenne aussi le choix d'être intuitionniste) ! Mais dans ce cas, être intuitionniste, n'est-ce pas plutôt chercher à reconstruire les maths en rejetant le principe du tier exclu ? Pourquoi n'ai-je jamais entendu parler d'ouvrages comme ça ?
9:40 : en quoi s' agit-il de l'utilisation du tiers exclu, puisqu'on utilise 3 termes possibles, y ajoutant un quart exclu (soit 1, soit 2 ou 3) ? Ce n'est qu'une 4e possibilité qui est rejetée (selon constructivisme).
C'est ainsi que naquis la 1ère guerre de religion athée :)
Ça va, c'est gentil tout ça... Faut voir des physiciens théorie des cordes vs gravité quantique à boucle pour assister à des vraies guerres de religion athée :P
Mais les pires que j'ai vu, ce sont les biologistes (pires encore que les économistes !). Surtout dans le débat kin vs group selection.
Ou encore les historiens avec le combat "sanglant" entre les positivistes et les essentialistes...
Ne voyez-vous aucune raison d'être platonicien en mathématique ?
Là, j'avoue ... j'avoue ... vous me faites méga-kiffer les intuitionnistes. Vous êtes très forts :))
Tu leur donnes un méthode constructive pour trouver où le segment va rencontrer le fil à couper l'beurre, le truc imparable, visuel, qui mérite un top 100 dans la famille des idées simples ...
binnnnn non ... ils sont encore pas contents ... parce qu'ils t'ont dégoté un Omega de Chaitin indécidable .... ha ha ha :))
Je vous aime les gars ... rien que pour ça, je like la vidéo... je la partage avec les amis ... avec une bonne bière à la santé de ma ZFC chérie ... Kro ou Leffe ou Grim ... zut faut faire un choix ! Pas près de la boire ma bière ...
A la tienne Lê ... et au très grand plaisir de te rencontrer un jour pour des discussions que je pressens ... passionnantes ... pour le moins !!!
Pour répondre encore à l'"abus de langage" avec l'injection de R dans C, en fait pour moi quand on parle d'isomorphisme, c'est exactement comme en Logique, en réalité plus qu'un simple isomorphisme de corps en R et ce sous-ensemble de C est en plus, si on arrive à l'écrire et le caractériser, ce qui est très compliqué puisque que même N est difficile à caractériser puisqu'on arrive pas à ce passer de non-entier dans certain modèle, on a justement un isomorphisme de modèle entre notre "R" usuel et ce sous ensemble de C, du coup rien ne permet à priori de prétendre que les réels ne sont pas les fameux (x,0). La puissance d'un tel isomorphisme est fulgurante puisque jamais rien ne permettra de les différentier. D'un point de vue logique, des propriétés, absolument rien ne permet de les différentier, du coup s'ils sont in différentiable, à quoi bon vouloir à tout prix les différentier?
PS : Je suis conscient qu'il y a des petits raccourcis à quelques endroits mais l'idée est là, je ne cherche pas à m’étendre sur des détails tordus ici. Mon commentaire est déjà assez long.
PPS : Sinon très bonne vidéo comme d'habitude !
PPPS : Je suis de cette race (plus ou moins) rare d'informaticiens théoriques qui ne sont pas dérangés par le faite que les choses ne soient pas atteignable ou constructible, au contraire je trouve cela magique de se dire qu'il y a des choses qui existent mais non calculable, comme si les Maths étaient juste une petite cachottière qui nous montrerai clairement qu'elle aime garder une part de mystère, ce que je trouve plutôt magique. Et justement la calculabilité ou non des choses est pour moi un sujet particulièrement intéressant, même je trouve cela particulièrement intéressant de trouver des choses non calculable, indécidable...
PPPPS : Je pense que pas mal d'erreurs d'orthographe traînent, je m'en excuse d'avance.
les maths existe naturellement et sont découvertes et l'homme ne fait qu'inventer des moyens de les comprendre....
Tu es une merveilleuse personne, merci pour tout ton travail
Il est complet, bien formulé. On ressent que tu aimes ce que tu dis, ce qui rend le contenu plus vivant, agréable à regarder, et à apprendre
Merci beaucoup !
Vive le tiers-exclus et la logique classique! Je veux écrire un article intitulé: "A defense of the excluded middle" dans une revue prestigieuse quand je serais chercheur. Sans vérité ni fausseté, à quoi bon faire des maths et des sciences (qui consistent à trouver une interprétation de plus en plus fidèle de la REALITE)? Rien de métaphysique.
Wahou tu l'as trouvée où cette jolie démonstration de l'existence d'une infinité de nombres premiers (en une ligne)?
Je cherche aussi !
Petite question philosophique :
Le principe du tiers exclus a-t-il un lien fort avec l'énoncé de Parménide : "l'être est et le non-être n'est pas" ?
Je ne suis pas du tout professionnel de la question, mais à mon humble avis Parménide n'énonce là que des traductions tautologiques des notions d'être et de non-être, mais sans les confronter et encore moins exclure tout tiers, comme le fait le Principe (après peut-être pour lui allait-ce sans dire...).
Ça sonne plus comme le principe d'identité qui dit que toute proposition logique est équivalente à elle-même.
Merci pour vos réponses !
1:37 Quelqu'un peut m'expliquer ce passage ? Je ne comprends pas trop pourquoi on peut rejeter la preuve par l'absurde
Super mec je comprends alors
Mais existe-t-il des exemples où on sait que la contraposée est fausse ?
Enfin je veux dire par là que c'est complètement intuitif cette histoire de "A ==> B" ==> " non[B]==>non[A]" je vois pas comment on peut réfuter ça
Navré si j'ai écorché les maths mais je suis pas très bon et en plus il est tard :D
D'accord merci pour cette vision assez claire
+Obscu Si on connaissait des exemples où la propriété est vrai alors que la contraposé est fausse, les intuitionnistes auraient déjà gagner le débat :)
Au passage pour la preuve par l'absurde ce n'est pas "A ==> B" ==> " non[B]==>non[A]" mais " non[B]==>non[A]" ==> " non[B]==>non[A]" que l'on utilise.
Sauf que si on trouve ce genre d'exemples, on aura une preuve par l'absurde que la théorie intuitionniste est vraie, ce qui la contredirait :)
@ZaiDo 2 Non, on prouverait juste que la logique classique est fausse, ce qui ne veut pas dire que la logique classique est vraie, elle pourrait être fausse pour d'autre raisons :)
Vous avez l'air passionnant j'essaye de me mettre tardivement certes aux mathématiques mais je ne comprends rien du tout de ce que vous dites et pourtant j'aimerais car votre approche des mathématiques à quelque chose de philosophique
Des le collège les maths sont devenues un cauchemard à quoi ça sert de développer ou factoriser ou de calculer cosinus ou racine carrée bref le pire fut lendemain sonore à représenter dans un repère log bref j'ai galère mais je sens qu'il y a chez moi un blocage j'entre vois pourquoi mais vous je vous adore et vous déteste car vous êtes un passionné qui donne envie de comprendre les maths malgré tout je ne comprends rien et ça c'est vraiment rageant.
El Jj - 2017-01-30
Je trouve inacceptable cette campagne de dénigrement des mathématiques classiques ! :)
credos97 - 2017-01-30
Quand les grands esprits de Youtube se rencontrent ! :D
N'hésite pas à faire une vidéo là-dessus toi aussi, on n'a jamais assez d'élements et de débat à ce sujet ;)
Ou genre une rencontre-débat ou jsais pas mais y'a de quoi faire beaucoup de choses !
Science4All - 2017-01-31
Je dis oui au progrès, moi ;)
Mohammed Khalili - 2017-02-01
Lol oui parce que les mathématiques classiques ils ont résolu tous les problèmes de notre ère ?
Valentin Thai - 2018-03-14
Je suis jeune, mais j'admire éperdument la logique classique et le raisonnement platonicien. Pour un vrai logicien, seul la vérité compte. Sinon les maths ne servent qu'à des usages pratiques.