Jean Garrigues - 2016-06-25
Introduction à l'algèbre et l'analyse tensorielle pour la mécanique des milieux continus. Le pdf du cours est accessible sur http://jean.garrigues.perso.centrale-marseille.fr/ ou bien http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923
dans le cours précédent , pas facile la relation tensoriel d'un rotation. j'ai le cours polycopié , mais franchement pas simple . merci pour ce second cours . maintenant j'attaque celui ci ...
Bjr Mr Garrigues, pour parler de dérivée pour un tenseur d'ordre p, j'imagine que sa norme doit être définie. Or l'opération : n'a été définie, sauf erreur, comme produit scalaire (induisant un norme) que pour les tenseurs d'ordre 2. La norme d'un tenseur existe donc toujours? J'imagine que c'est le cas, vues les formules qui réduisent l'ordre...dont on prend la dérivée...Quelle est cette norme en général ? Merci. Alain
Alain Rodot - 2017-04-11
j'ai plus ou moins la réponse à ma question, mais il resterait à prouver la positivité: considérer le produit p fois contracté du tenseur d'ordre p par lui-même je pense doit marcher pour avoir une norme digne de ce nom.
Jean Garrigues - 2017-04-13
Merci Alain de ces remarques pertinentes. En effet, j'aurais dû signaler dans le cours (et démontrer dans le pdf) que le produit p-contracté d'un tenseur d'ordre p avec lui-même est un produit scalaire dans l'espace vectoriel des tenseurs d'ordre p. Pour les tenseurs d'ordre p, il n'est plus possible d'utiliser l'astuce matricielle que j'avais utilisée pour les tenseurs d'ordre 2. Parce que l'environnement des commentaires est mal commode pour écrire des formules, je vais écrire la démonstration pour les tenseurs d'ordre 3 (elle est facilement généralisable à l'ordre p)
Le produit 3-contracté d'un tenseur d'ordre 3 avec lui même s'écrit :
T^{ijk} T_{ijk}
En utilisant l'ascenseur d'indices sur le second terme, il vient :
T^{ijk} g_{ip} g_{jq} g_{kr} T^{pqr} où g_{mn} = e_{m} .e_{n} (compos. covariantes du tenseur métrique)
Le résultat est un tenseur d'ordre 0 (un scalaire), donc indépendant de la base utilisée.
On choisit d'utiliser une base orthonormée ; on a donc :
g_{mn} =1 si m=n et g_{mn}=0 si m différent de n.
(on pourrait écrire g_{mn} = delta_{mn} par analogie avec le symbole de Kronecker)
En développant la sommation précédente, on constate que le produit 3-contracté de T avec lui-même est la somme des carrés de ses composantes contravariantes SUR UNE BASE ORTHONORMEE. C'est donc un nombre positif quand le tenseur T n'est pas nul. La norme euclidienne de T est la racine carrée de ce nombre.
Merci de m'avoir donné l'occasion de clarifier ce point.