L'Equation du Radar
L'équation du radar traduit l'influence de phénomènes physiques sur la puissance rayonnée, la propagation de l'onde, et jusqu'à la réception du signal réfléchi (écho). L'équation du radar permet de réaliser une estimation des performances d'un système radar.
Figure 1 : densité de puissance omnidirectionnelle
Figure 1 : densité de puissance omnidirectionnelle
Argumentation/Explication
Nous supposerons que les ondes électromagnétiques se propagent dans des conditions idéales, sans subir de quelconque perturbation.
Figure 1 : densité de puissance omnidirectionnelle
Lorsque l'énergie haute fréquence est rayonnée à partir d'une antenne isotrope, elle se propage de façon uniforme dans toutes les directions. Les zones d'égale densité de puissance forment donc des surfaces sphériques (A= 4π·R²) concentriques autour de l'antenne. Lorsque le rayon de la sphère augmente, une même quantité d'énergie est diffusée sur une plus surface sphérique. Cela revient à dire que la densité de puissance, dans une direction donnée, diminue lorsque la distance de l'émetteur augmente.
La formule suivante permet de calculer la densité de puissance pour un aérien omnidirectionnel Su
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(1)
- PS = puissance émise [W]
- Su = densité de puissance „omnidirectionnelle”
- R1 = distance antenne - cible [m]
Si l'antenne n'émet que sur une portion de la sphère (pour une puissance d'émission constante), la densité de puissance augmente dans la direction de l'émission. Cette caractéristique est appelée gain d'antenne. Ce gain est dû à la „concentration” de la puissance émise dans une seule direction. La formule permettant de calculer la densité de puissance dans la direction du gain maximum est la suivante:
(2)
- Sg = densité de puissance „directive”
- Su = densité de puissance „omnidirectionnelle”
- G = gain d'antenne
Évidemment, dans la réalité, les antennes de radars ne sont pas des antennes isotropes n'émettant que dans un secteur limité. Elles génèrent un lobe étroit et un gain pouvant aller jusqu'à 30 ou 40 dB. (ex. antenne parabolique ou antenne à réseau de phases).
La détection d'une cible ne dépend pas uniquement de la densité de puissance à sa position. Elle dépend également de la partie de l'énergie réfléchie par la cible qui est renvoyée vers l'antenne du radar. Afin de déterminer la valeur de cette puissance réfléchie „utile”, il est nécessaire de connaître la surface équivalente radar σ de la cible. Cette valeur difficile à appréhender dépend de plusieurs paramètres. Dans un premier temps, il est relativement logique de considérer que plus la surface éclairée par le signal est grande, plus la puissance réfléchie est importante. Cela se traduit par exemple de la manière suivante:
Un Airbus présente une surface équivalente radar plus grande qu'un avion de tourisme dans la même configuration de vol. Au-delà des considérations de taille, la capacité d'un objet à réfléchir les ondes dépend de sa forme, de la composition de sa surface et de la nature des matériaux utilisés.
Reprenons donc toute notre démonstration: lorsqu'elle atteint sa destination finale, la puissance réfléchie Pr découle de la densité de puissance Su, du gain d'antenne G et de la très fluctuante surface équivalente radar σ:
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(3)
- Pr = puissance réfléchie [W]
- σ = surface équivalente radar [m²]
- R1 = range, distance antenna - aim [m]
Figure 2 : lien entre
les formules 3 et 4
Figure 2 : lien entre
les formules 3 et 4
D'une façon simplifiée nous pouvons considérer la cible comme un émetteur (du signal réfléchi). La puissance réfléchie Pr est donc assimilable à une puissance émise (par la cible).
Comme les conditions de propagation du signal sont identiques sur le trajet aller et sur le trajet retour, nous pouvons réutiliser la formule (1) pour déterminer la densité de puissance Se atteignant l'emplacement de l'antenne du radar:
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(4)
- Se = densité de puissance
- Pr = puissance réfléchie [W]
- R2 = distance cible - antenne [m]
L'énergie globale reçue par l'antenne PE (c'est à dire la „quantité de densité de puissance” captée par l'antenne) dépend de la surface apparente de l'antenne AW.
(5)
- PE = puissance [W]
- AW = surface apparente de l'antenne [m²]
La notion de surface apparente de l'antenne découle de ce qu'aucune antenne ne fonctionne sans perte (son efficacité n'est jamais de 100%). Dans la réalité, la surface „efficace” de l'antenne est donc toujours inférieure à sa surface géométriquement mesurée, et ce dans un facteur de 0,6 à 0,7 (facteur d'efficacité Ka).
Nous pouvons donc définir la surface apparente par:
(6)
- AW = surface apparente de l'antenne [m²]
- A = surface réelle (géométrique) de l'antenne [m²]
- Ka = facteur d'efficacité
Le calcul de la puissance captée par l'antenne PE peut donc s'effectuer ainsi:
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Nous avons jusqu'à présent considéré séparément le trajet aller (R1 = antenne - cible) et le trajet retour (R2 = cible - antenne) du signal. Nous allons maintenant étendre l'équation au trajet global de l'onde, et comme nous pouvons écrire que R1 = R1 nous obtenons l'équation suivante:
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(9)
Une formule supplémentaire (cependant elle ne sera pas expliquée ici) permet de déterminer le gain d'antenne G en fonction de la longueur d'onde λ du signal émis.
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(10)
Si l'on en extrait l'expression de A·Ka, et qu'on l'insère dans l'équation (9) ci-dessus, on obtient après simplification:
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(11)
Après mise en forme nous pouvons exprimer la distance R sous la forme suivante:
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(12)
Tous les paramètres qui influencent la propagation de l'onde émise par le radar ont été pris en compte dans cette équation théorique. Cependant, avant qu'elle soit réellement utilisable dans la pratique, par exemple pour déterminer l'efficacité d'un radar, il convient d'y apporter d'autres précisions.
Pour un radar donné, la plupart des grandeurs (Ps, G , λ) peuvent être considérées comme des constantes puisqu'elles ne varient que dans des fourchettes très étroites. D'autre part, la surface équivalente radar variant énormément dans le temps, pour des raisons pratiques nous la poserons égale à 1 m².
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(13)
Soit PEmin la puissance minimum du signal autorisant sa détection par le radar. Tout signal de puissance inférieure ne peut être exploité puisqu'il est noyé dans le bruit du récepteur. Ce signal de puissance minimum PEmin est donc celui qui permet au radar d'atteindre sa portée maximum de détection Rmax comme indiqué par l'équation (13) ci-dessus.
Cette équation permet notamment de visualiser rapidement l'influence des caractéristiques d'un système radar sur sa portée de détection.
Influences sur la portée maximum
Lors de l'élaboration de notre équation du radar, nous avons considère des conditions de propagations idéales, libres de toute perturbation. Cependant, dans la pratique, la propagation est affectée par de nombreuses pertes qui peuvent considérablement réduire l'efficacité du radar.
Nous allons donc pondérer notre équation d'un facteur de pertes Lges.
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(14)
Ce facteur regroupe les pertes suivantes:
- L D = atténuations internes dans les circuits à de l'émetteur et du récepteur
- L f = pertes dues aux fluctuations de la surface équivalente
- L Atm = pertes atmosphériques lors de la propagation de l'onde électromagnétique en direction de la cible (et sur le trajet retour).
Les composants hyperfréquences, tels les guides d'onde, les filtres, ou encore les radomes, génèrent des pertes „internes”. Pour un radar donné, ces pertes sont relativement constantes et facilement mesurables.
L'atténuation atmosphérique et les réflexions sur la surface de la terre sont d'autres problèmes qui affectent en permanence les performances des radars.
Influence du sol
Une forme plus complète (mais moins couramment utilisée) de l'équation du radar prend en compte des paramètres supplémentaires, comme l'influence des réflexions sur le sol, mais néglige la sensibilité du récepteur et les absorptions atmosphériques.
(15)
Dans cette formule, en plus des grandeurs précédemment utilisées et définies:
| Kα= | facteur de dissipation remplace Lges. | Az= | surface de réflexion apparente remplace σ |
| ti= | longueur d'impulsion | K= | constante de Boltzmann |
| T0= | température absolue, en °K | nR= | bruit de fond du récepteur |
| d= | facteur de luminosité de l'écran | γ= | angle du lobe réfléchi (par la surface de la terre) |
| δR= | facteur d'atténuations atmosphériques | Re= | distance du corps absorbant (ex: nuages) |
Figure 3 : Réflexions sur le sol
Figure 3 : Réflexions sur le sol
Réflexions des ondes sur un sol plat
Le facteur représenté par une fonction trigonométrique traduit l'influence des réflexions sur la surface
de la terre. Le sol, aux alentour immédiats de l'antenne d'un radar, a un impact important sur
le diagramme de rayonnement vertical.
A cause des combinaisons entre les ondes directes et les ondes réfléchies, les diagrammes de rayonnement
de l'antenne changent à l'émission et à la réception. Ces effets sont notables dans la bande de fréquences VHF,
mais diminuent lorsque la fréquence augmente. Pour détecter des cibles à basses altitudes,
les réflexions sur le sol sont utiles. Ceci n'est possible que lorsque les ondulations de
la surface dans la première zone de
Fresnel sont
inférieures à 0,001 R (c'est à dire, par exemple, que dans un rayon de 1000 m,
aucun obstacle ne doit être de taille supérieure à 1 m!).
Les radars spécialisés émettant des ondes plus basses (bande VHF) utilisent les réflexions sur le sol et les lobes d'interférence afin d'optimiser la couverture en basse altitude. A des fréquences plus hautes, ces réflexions sont plus gênantes. Le schéma suivant montre le rayonnement en lobes généré par les réflexions sur le sol. Cet effet est habituellement indésirable puisqu'il permet à des avions de passer entre deux lobes sans être détectés. La technique a cependant été utilisée par des radars ATC terrestres (Contrôle de Trafic Aérien) afin d'en accroître la portée, mais cela n'est réalisable qu' à basse fréquence, quand la largeur des lobes est suffisante pour assurer la couverture radar nécessaire aux sites plus élevés.
le diagramme en cosécante carrée idéal!
Figure 4 : Réflexions des ondes sur un sol plat
le diagramme en cosécante carrée idéal!
Figure 4 : Réflexions des ondes sur un sol plat
le diagramme en cosécante carrée idéal!
Figure 4 : Réflexions des ondes sur un sol plat
Élever l'antenne augmente le nombre de lobes tout en les rendant plus fins. Dans une telle structure, les trous de détection entre les lobes sont partiellement comblés du fait des irrégularités du sol. En fait, si la surface du sol n'est pas très plate alors les effets de renforcement ou d'atténuation dus aux réflexions diminuent. Éviter les effets de lobes est une des préoccupations principales lorsqu'il s'agit de définir l'emplacement d'un radar et la hauteur de son antenne.